[[Dosya:Color parallelogram.svg|sağ|küçükresim|
<center>Bir paralelkenar üzerinde kenarlar mavi, köşegenler ise kırmızı ile gösterilmiştir.
</center>]] Matematikte paralelkenar yasasının en temel formu (ayrıca paralelkenar özdeşliği denir), temel geometriye aittir. Yasa, paralelkenarın tüm kenarlarının karelerinin toplamının köşegenlerinin karelerinin toplamına eşit olduğunu söyler.
Yandaki gösterimdeki paralelkenarın kenarları; (AB), (BC), (CD) ve (DA)'dır. Öklidci geometriden beri, paralelkenarın karşılıklı kenarları mutlaka eşit olmalıdır. Yani, (AB) = (CD) ve (BC) = (DA)'dır.
Yasa şu şekilde ifade edilebilir,
$2(AB)^2+2(BC)^2=(AC)^2+(BD)^2,$
Paralel kenarın dikdörtgen olması durumunda ise köşegenler eşit olmalıdır (AC) = (BD) yani,
$2(AB)^2+2(BC)^2=2(AC)^2,$
İfade, dört kenarı eşit olmayan genel dörtgenler içinse Pisagor teoremine indirgenebilir,
$(AB)^2+(BC)^2+(CD)^2+(DA)^2=(AC)^2+(BD)^2+4x^2.,$
burada x köşegenlerinin orta noktasını birleştiren çizginin uzunluğudur. Şemada görüldüğü gibi, paralelkenar için x = 0 ve genel formül paralelkenar yasasındakine eşdeğerdir.
[[Dosya:Parallelogram law.svg|küçükresim|
<center>Paralelkenar kanunu içinde ilgili vektörler.
</center>]] Bir normlu uzayı içinde paralelkenar kanununun durumu normlarla ilişkili bir denklemdir:
$$2|x|^2+2|y|^2=|x+y|^2+|x-y|^2. ,$$
Bir iç çarpım uzayı içinde,norm iç çarpım kullanımı belirleniyor:
$$|x|^2=\langle x, x\rangle.,$$
Tanımın bir sonucu olarak, bir iç çarpımlı uzay içinde parallelkenar kanunu bir cebrik özdeşliktir,iç çarpımın özellikleri kullanılarak kolayca kurulmuştur:
$$|x+y|^2=\langle x+y, x+y\rangle= \langle x, x\rangle + \langle x, y\rangle +\langle y, x\rangle +\langle y, y\rangle, ,$$
$$|x-y|^2 =\langle x-y, x-y\rangle= \langle x, x\rangle - \langle x, y\rangle -\langle y, x\rangle +\langle y, y\rangle. ,$$
bu iki bağıntı ekleniyor:
$$|x+y|^2+|x-y|^2 = 2\langle x, x\rangle + 2\langle y, y\rangle = 2|x|^2+2|y|^2, ,$$
olarak gereklidir.
Eğer x yye ortogonal ise, $\langle x ,\ y\rangle = 0$ ve alınan bir toplamın normu için yukarıdaki denklem :
$$|x+y|^2= \langle x, x\rangle + \langle x, y\rangle +\langle y, x\rangle +\langle y, y\rangle =|x|^2+|y|^2,$$
En gerçek ve karmaşık normlu vektör uzayları iç çarpımlı değildir, ama tüm normlu vektör uzaylarının normları var (tanımı ile).Örneğin, bir ortak kullanılan norm p-normdur:
$$|x|p = \left( \sum{i=1}^n |x_i|^p \right) ^{1/p},$$
$x_i$ burada $x$ vektörünün bileşenleridir.
Verilen bir norm, yukarıda paralelkenar kanununun iki tarafını teke evriltilebilir. Dikkat çekici gerçektir şudur ki paralelkenar kanunu tutarlı ise, o zaman standart bir iç çarpım, alışılmış bir yolla ortaya çıkmalıdır. Özel olarak, bu p-norm'un ancak ve ancak p = 2,Öklidyen norm veya standard norm gibi-adlandırılması uygundur.12
Herhangi norm için paralelkenar kanunu karşılar (bu zorunlu olarak bir iç çarpım normudur), iç çarpım üreten norm polarizasyon özdeşliğinin bir sonucu olarak tekliktir. Gerçek durum içinde,polarizasyon özdeşliği ile veriliyor:
$$\langle x, y\rangle={|x+y|^2-|x-y|^2\over 4},,$$
veya, eşdeğerliği, ile:
$${|x+y|^2-|x|^2-|y|^2\over 2}\text{ veya }{|x|^2+|y|^2-|x-y|^2\over 2}.,$$
karmaşık durum içinde aşağıdaki ile veriliyor:
$$\langle x, y\rangle={|x+y|^2-|x-y|^2\over 4}+i{|ix-y|^2-|ix+y|^2\over 4}.$$
Örneğin, p-norm ile p = 2 ve gerçel vektörler $x , \ y ,$ kullanılıyor, iç çarpımın evirtimi için süreç aşağıdadır:
$$\begin{align} \langle x, y\rangle&={|x+y|^2-|x-y|^2\over 4}\ &=\frac{1}{4} \left[ \sum |x_i +y_i|^2 -\sum|x_i-y_i|^2 \right]\ &=\frac{1}{4} \left[ 4 \sum x_i y_i \right]\ &=(x\cdot y), \end{align}$$
bu iki vektörlerin standart nokta çarpımıdır.
Orijinal kaynak: paralelkenar yasası. Creative Commons Atıf-BenzerPaylaşım Lisansı ile paylaşılmıştır.
Ne Demek sitesindeki bilgiler kullanıcılar vasıtasıyla veya otomatik oluşturulmuştur. Buradaki bilgilerin doğru olduğu garanti edilmez. Düzeltilmesi gereken bilgi olduğunu düşünüyorsanız bizimle iletişime geçiniz. Her türlü görüş, destek ve önerileriniz için iletisim@nedemek.page